SISTEM BILANGAN

1. Sistem Bilangan dan Bilangan Desimal

Suatu sistem bilangan adalah suatu himpunan aturan, nama, dan lambang yang digunakan untuk mewakili bilangan.

Setiap bilangan asli N dalam notasi menurut kedudukan diwakili oleh pernyataan:

(1.1)

dengan:

N : himpunan angka yang mewakili suatu bilangan

R : radiks atau dasar sistem bilangan atau orde bilangan

n+1 : banyaknya angka dalam bilangan itu

a_i : angka yang bernilai dari 0 sampai R-1 (i = 0, 1, 2, …R-1)

Secara umum, sistem bilangan tempat nilai itu berlaku untuk setiap radiks berupa bilangan bulat  2, dan suatu angka dengan kedudukan i mempunyai bobot Rⁱ. Pada pernyataan diatas tidak berlaku sistem yang menggunakan satu angka (R<2).

Sistem desimal adalah sistem bilangan yang mempunyai radiks 10. dalam sistem desimal, semua diwakili oleh deretan angka 0 sampai 9. Setiap bilangan asli dalam sistem desimal selalu dapat ditulis sebagai:

(1.2)

dengan:

a₀ adalah banyaknya satuan

a₁ adalah banyaknya puluhan dan seterusnya.

Dalam bentuk yang disederhanakan, bilangan tersebut dapat ditulis sebagai suatu barisan angka a_i (i = 0, 1, ..., n):

N a_na_n-1...a₁a₀ (1.3)

Dalam hal di atas tanda plus di antara suku-skunya telah dihilangkan dan 10 berpangkat itu secara otomatis dimengerti hadir. Jadi urutan atau kedudukan setiap angka disebelah kiri selalu lebih tinggi daripada yang di kanannya dengan faktor 10.

Angka terkiri dikatakan sebagai angka yang paling berarti (most significant digit-MSD) dan angka terkanan adalah angka yang paling kurang berarti (least significant digit-LSD).

Persamaan (1.1) dapat diperluas untuk bilangan nyata positif dengan memanfaatkan pangkat negatif:

(1.4)

Bilangan nyata positif itu lazimnya ditulis secara ringkas dengan memisahkan suku yang pangkatnya positif dan nol dari suku yang yang berpangkat negatif dengan suatu tanda radiks (biasanya tanda titik atau koma). Angka di kiri tanda radiks itu disebut sebagai bagian bulat dan yang di kanan tanda radiks disebut bagian pecahan.

2. Perubahan radiks

Setiap bilangn N dalam sistem desimal dapat diubah menjadi suatu bilangan dengan radiks R. Urutan pengubahannya adalah sebagai berikut:

a. Tentukan pangkat tertinggi, n, pada R yang tidak lebih besar dari N.

b. Bagilah N dengan Rⁿ. Hasil baginya, a_n merupakan angka pertama untuk N dan sisanya, r₁, digunakan pada langkah (c).

c.i. Jika r₁  R^n-1, bagi r_{1 itu} dengan R^n-1 untuk mendapatkan hasil bagi a_n-1, yang merupakan angka kedua untuk N. Sisanya, r₁, digunakan pada langkah (d).

c.ii. Jika r₁ <>n-1, angka kedua untuk N adalah 0 dan r₁ digunakan pada langkah d.

d. Ulangi langkah c dengan hasil (c.i.) atau (c.ii.) dan teruskan pembagian itu hingga semua pangkat R yang kurang dari n telah digunakan semua.

Contoh 1.1:

• Ubahlah bilangan desimal 97 menjadi suatu bilangan dengan radiks 3!

• Carilah setara desimal untuk 2312 pada sistem bilangan dengan radiks 4!

Catatan:

Cara pengubahan bilangan desimal (radiks 10) ke radiks lain dapat juga dilakukan dengan metode pembagian berurutan.

Contoh 1.2:

• Ubahlah bilangan desimal 81 menjadi suatu bilangan dengan radiks 5 dengan metode perubahan radiks diatas dan metode pembagian berurutan kemudian bandingkan hasilnya!

3. Bilangan Biner

Dalam sistem digital bilangan desimal bukan merupakan sistem yang paling efisien untuk dipakai. Sistem bilangan biner secara luas digunakan dalam rangkaian logika dan sistem digital yang lain. Bilangan biner merupakan bilangan dengan radiks 2 (diwakili oleh deretan angka 0 dan 1 atau diwakili dengan 2 angka yang berbeda), bukan 0 sampai dengan 9 (atau diwakili dengan 10 angka yang berbeda) seperti pada sistem desimal. Kedua angka tersebut merupakan perwakilan dua keadaan dalam rangkaian logika: hidup dan mati atau ada tiadanya sinyal (pulsa) atau tegangan tinggi dan tegangan rendah.

Angka-angka biner (0 atau 1) disebut sebagai bit.

Aturan untuk mengubah bilangan desimal menjadi bilangan biner dan sebaliknya mengikuti aturan yang telah dibahas dalam Subbab (1.2.)

Apabila pengubahan dengan metode pembagian berurutan, maka dilakukan dengan langkah-langkah:

1. Berturut-turut bagi bilangan yang diketahui dengan 2.

2. Letakkan hasil baginya tepat dibawah bilangan yang dibagi itu.

3. Letakkan sisa pembagian itu disamping kanan hasil bagi tersebut.

4. Bilangan biner setaranya akan terbentuk oleh sisa pembagian itu dengan sisa terakhir menjadi angka pertama dan sisa pertama menjadi angka terakhir.

Untuk bilangan pecahan desimal, pengubahan itu dapat dilakukan dengan langkah berikut:

1. Berturut-turut kalikanlah pecahan desimal itu dengan 2.

2. Tulislah hasil perkalian itu secara lengkap, tetapi pisahkan bagian bulat dari bagian pecahannya.

3. Letakkan hasilkali tersebut tepat dibawah bilangan yang dikalikan itu

4. Lakukan perkalian itu hanya untuk bagian pecahannya saja dengan mengabaikan bagian bulatnya sampai semua angka dibagian pecahannya sama dengan nol atau sampai banyaknya angka yang diperlukan untuk derajat ketepatan telah dicapai.

5. Bagian bulat hasil perkalian tersebut yang pertama yang diperoleh dari perkalian yang pertama merupakan bagian pecahan bilangan biner yang pertama.

Catatan:

Ada cara yang lebih mudah untuk mengubah bilangan desimal ke bilangan biner yaitu berdasarkan nilai tempat kedudukan

......	16	8	4	2	1
........	24	23	22	21	20

Contoh 1.3:

• Ubahlah bilangan desimal 10 ke bilangan biner!

Jawab:

10 merupakan penjumlahan dari 2+8, maka:

1	0	1	0	 setara binernya
8	4	2	1
23	22	21	20

4. Bilangan Oktal

Sistem bilangan oktal adalah suatu sistem bilangan dengan radiks 8. Sistem oktal tersebut mempunyai delapan lambang atau angka. Delapan angka yang dipakai itu adalah 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6 dan 7.

Aturan untuk mengubah bilangan desimal menjadi bilangan oktal dan sebaliknya mengikuti aturan yang telah dibahas dalam Subbab (1.2.)

Hubungan antara oktal dengan biner diperoleh dengan menghitung sampai dengan tujuh dalam masing-masing sistemnya:

000 001 010 011 100 101 110 111  setara biner

       

0 1 2 3 4 5 6 7  oktal

Contoh 1.4:

• Ubahlah bilangan oktal 45 menjadi bilangan biner setaranya:

4 5

100 101

Dari contoh diatas, setiap angka oktal itu diubah menjadi setara binernya

Pengubahan bilangan biner ke oktal juga tidak sukar, hanya memerlukan proses kebalikannya. Yang perlu diingat adalah untuk mengubahnya harus mengelompokkan bilangan biner itu tiga demi tiga mulai dari tanda binernya, kemudian mengubah masing-masing kelompok tersebut menjadi setara oktalnya.

Contoh 1.5:

• Ubahlah 1101.110101₂ = .......₈

• Berapakah setara biner untuk bilangan desimal 103? Ubahlah menjadi oktal terlebih dahulu sebelum diubah menjadi bilangan biner!

5. Bilangan Heksadesimal

Bilangan heksadesimal adalah suatu sistem bilangan dengan radiks enambelas. Bilangan heksadesimal mempunyai enambelas angka dari 0 sampai 9 ditambah dengan A, B, C, D, E dan F.

Seperti pada bilangan oktal, pada bilangan heksadesimal karena enambelas adalah 2⁴, pengubahan dari heksadesimal ke biner menjadi sederhana.

Misalnya untuk mengubah 4BF₁₆ menjadi biner, maka:

4 B F

0100 1011 1111

Dalam hal ini setiap angka heksadesimal diubah menjadi setara binernya, pengelompokan disini adalah 4 bit.

Contoh 1.6:

• Ubahlah 0000100111111₂ menjadi bilangan heksadesimal!

Dalam sistem heksadesimal, dua angka dapat dengan rapi mewakili byte (8-bit), dan 2n angka mewakili suatu kata n-byte. Suatu angka heksadesimal dengan 4 bit kadang-kadang disebut sebagai nibble.

6. Aritmatika Bilangan Biner

• Untuk mendapatkan aturan penambahan dalam bilangan biner perlu dibahas 4 kasus sederhana berikut:

1. 0 + 0 = 0

2. 0 + 1 = 1

3. 1 + 0 = 1

4. 1 + 1 = 10 (0 dengan simpanan 1)

Contoh 1.7:

• Jumlahkan bilangan biner 101 dengan 110!

  • Untuk mengurangkan bilangan biner, ditinjau terlebih dahulu 4 kasus berikut:

1. 0 – 0 = 0

2. 1 – 0 = 1

3. 1 – 1 = 0

4. 10 – 1 = 1

Dalam operasi pengurangan tersebut, seperti halnya dengan pengurangan bilangan desimal, dilakukan kolom demi kolom. Bila perlu dilakukan peminjaman dari kolom dengan urutan yang lebih tinggi.

Contoh 1.8:

• Hitunglah 110₂ dikurangi dengan 101₂

  • Perkalian bilangan biner juga seperti halnya dengan bilangan desimal.

1. 0 x 0 = 0

2. 0 x 1 = 0

3. 1 x 0 = 0

4. 1 x 1 = 1

Contoh 1.9:

• Kalikan bilangan biner 1011 dengan 101!

  • Pembagian dengan bilangan biner mempunyai pola yang sama seperti halnya dengan bilangan desimal.

Contoh 1.10:

• Bagilah bilangan biner 1100 dengan 10!

Daftar Pustaka:

Mismail, Budiono. 1998. Dasar-dasar Rangkaian Logika Digital. Bandung: Penerbit ITB.